Récord: 10 torres, por Julián Arias Maetschl
Nos escribe Javier Serrano:
Estimados señores: la solución propuesta por el Sr. Julián Arias Maetschl es imbatible. La razón es la siguiente:
Si cada torre ataca exactamente a una de las otras, entonces es claro que podemos emparejar las torres ya que si la torre A ataca a la B, entonces la torre B también ataca a la A y a ninguna otra. Así pues, hablaremos de parejas de torres.
Cada pareja de torre sólo puede adoptar dos posiciones en el tablero: estar situadas en la misma vertical (columna) o estar situadas en la misma horizontal (fila). Llamaremos V al número de parejas colocadas de forma vertical y H al número de parejas colocadas de forma horizontal. El número máximo de torres se encontrará maximizando la expresión 2H+2V o, lo que es equivalente, maximizando la expresión H+V.
Pensaremos ahora sólo en las filas del tablero: cada pareja horizontal elimina (para futuras colocaciones de otras torres) la fila a la que pertenecen ambas; cada pareja vertical elimina dos filas distintas. Como en cada fila debe haber, como máximo, una pareja de torres, tenemos que H+2V=8 en el mejor de los casos.
Un razonamiento parecido, pero hecho con columnas, nos lleva a que 2H+V=8 en el mejor de los casos.
Con las dos ecuaciones formamos un sistema, pero no tiene soluciones enteras, de manera que rebajamos en una unidad una de ellas poniendo, por ejemplo, H+2V=7 que es ahora el mejor de los casos. Junto con la ecuación 2H+V=8 obtenemos que H=3 y V=2, lo que hace que la solución óptima esté compuesta de 5 parejas, 3 horizontales y 2 verticales (con una fila vacía), que es la que presenta el Sr. Julián Arias Maetschl.
Por supuesto, de haber cambiado a 7 el término independiente de la otra ecuación, habríamos encontrado una solución simétrica (2 horizontales y 3 verticales) que visualmente puede verse girando el tablero de la solución del Sr. Julián Arias Maetschl 90 grados.
Por tanto, la solución óptima tiene 5 parejas, esto es, 10 torres.
Saludos.
